E91

Ekertの提案した、EPRペアを利用したQKD。
３つのEPRペアを用いて1ビットの情報を伝送し、盗聴者の検出にはBell方程式を用いる。

次の３状態がコンスタントに生成されるとする：
|Ω0> = ( |0> |3π/6> - |3π/6>|0>)/sqrt(2),
|Ω1> =  ( |π/6> |4π/6> - |4π/6>)|π/6>/sqrt(2),
|Ω2> =  ( |2π/6> |5π/6> - |5π/6>|2π/6>)/sqrt(2)。

(つまり、0からπを6等分して、π/2毎ずれたものを組み合わせたEPRペア).

これらの状態それぞれに対して、次の互いに直交しないアルファベットを定義する。
A0
|0>     :  0
|3π/6>   :  1

A1
|π/6>    : 0
|4π/6>   :  1

A2
|2π/6>   : 0
|5π/6>   : 1

さらに、次の観測作用素を定義する。
M0 = |0><0|     M1 = |π/6><π/6|      M2 = | 2π/6><2π/6|。

以下、プロトコルの説明。

EPR源のようなものがあり、単位時間ごとにΩj、j=0,1,2いずれかを等確率で生成するとする。
生成されたΩjの、第一粒子はAliceに、第二粒子はBobに送信される。

Alice、Bobはそれぞれ、ランダムにM0,M1,M2を選択し、自分の粒子を観測。
Aliceは、観測したbitを記録。
Bobは、観測したbitを反転させたものを記録。

以上の手続きを多数回繰り返す。

次に、古典通信路での通信。Ωiのいずれに対しても、EPRペアの
AliceとBobは、同一の観測作用素で観測した箇所を教えあう。
二人はそれぞれが有するbit列を、二つの部分列に分割する。
片方の部分列は「生の鍵」であり、同一の観測作用素を用いた観測結果に対応するもの（全体の1/3の長さ)。
残りは、「棄却鍵」である。

BB84やB92と異なり、E91では、棄却鍵を利用して盗聴者の検出を行う。
棄却鍵を用いて、Bell不等式が満たされているかどうかを確認。
満たされているならば盗聴者が存在し、満たされていないならば存在しない。

E91プロトコルにおけるBell不等式は、次のように記述される。
AliceとBobがそれぞれMiとMjあるいはMjとMiで観測をしたときにAliceとBobの記録したbitが異なる
確率を、P(neq|i,j)と書く。P(eq|i,j)=1-P(neq|i,j)である。
Δ(i,j)=P(neq|i,j) - P(eq|i,j)
とする。
また、
β= 1 + Δ(1,2) - |Δ(0,1) - Δ(0,2)|
とする。
このとき、Bellの不等式は
β ≧ 0
となり、量子力学的性質を棄却鍵が有しているならば、
β=-1/2
になる。
うーん、これもよくわからん。Bell不等式が頭に入っていないからかな？
盗聴者の誤り率を、全ケースについて計算していないから分からないのかな？