”またの機会に”

英語：
忘年会、留学生が参加できないとの知らせを送ってきた。
対して：
I'm so sorry for your absence, but I feel happy that
you seem to be enjoying your life in Japan.
I'm sure we'll be able to have good time in some other time.

「別の機会に」って表現の例。
その話は別の機会に譲る。
That's another story for another day.

あなたの申し出はまた別の機会にお受けします
I'll take you up on that offer some other time.

＊日付の表現とか、苦手だ。会話していて、数字や年月日のところで明らかに口ごもる。

 

関数解析復習１

・ベールの定理：
- 完備距離空間において内点を持たない閉集合の可算個の和集合は、内点を持たない。
- 完備距離空間で稠密な開集合の可算個の共通部分は、稠密である。

x∈Xのノルムを||x||と記す。ノルム空間Xには、
d(x,y)=||x-y||
で自然に距離が入る（ノルム位相）。

ベクトル空間Xの内積を(x,y)で表す。
内積から、
||x|| = sqrt( (x,x))
で自然にノルムが定義される。

同型対応を用いて、ある種の関数空間がヒルベルト空間であることを示すテクニックは重要。
例えば正則な複素空間上の関数空間を、
その関数のテーラー展開の係数が重みつき数列空間に同型であることと、
重みつき数列空間がバナッハ空間であることから、
重みつき数列空間のノルムと、考察の対象の関数空間の内積の対応をつけて
関数空間がヒルベルト空間であることが言える。
（もちろん、関数空間の性質によっては直接コーシー列の収束を示してもよい）

ノルム空間EからFへの有界線型作用素の全体をL(E,F)と書く。
S,T∈L(E,F),
(αS+βT)x=αSx+βTx,    x∈E, α,β∈K
でベクトル空間の構造が入る。
この作用素空間L(E,F)は作用素に対するノルム
T∈L(E,F), ||T|| = min{K} s.t.
∀x∈E, ||Tx|| ≦ K||x||
によって、ノルム空間となる。

・一様有界性の原理
E,Fをノルム空間、Eは完備であるとする。AをL(E,F)の部分空間とする。
このとき、
∀x∈Eに対して、sup||Tx|| < ∞
ならば
sup||T||<∞
である。但しsupはT∈Ａでとる。
これは、点別で有界な作用素の集合は、(作用素の）ノルムとしても有界な集合であることを
意味している。

・次の事実は、双対空間を考える時に非常に重要：
Fが完備ならば、ノルム空間L(E,F)も完備である。
双対空間は、Eから体Kへの線型作用素からなる空間なので、
自然に完備（バナッハ空間）になる。

○双対空間
Eをノルム空間、KをEのスカラーの作るノルム空間とする。
EからKへの線型作用素のことを、E上の線型汎関数と呼ぶ。
特に、fがノルム空間E上の有界線型汎関数であるとは、次が成立すること：
(a)f(αx + βy) = αf(x)+βf(y)
(b)|f(x)| ≦M||x||なるM∈Kが存在する。

E上の有界な線型汎関数の全体が作るノルム空間L(E,F)をdual(E)とかき、
Eの双対空間という。
dual(E)の元fは、f:E->Kなる関数である。

Eとdual(E)を対等に扱う。つまり、f=x'∈dual(E)のようにかいて、
f(x)=x'(x) = <x,x'>
のように表す。
スカラーの空間は完備なので、dual(E)=L(E,K)は必ず完備である。

ユークリッド空間R^nの双対空間は、R^nそのものと同型である。

デシベル

デシベルって、よく聞くけど、意味は分かってなかった。

本来、絶対的な何かの単位ではなくて、
基準電力（単位時間当たりの仕事量）に対する比の常用対数×10を
デシベルとしているらしい。
基準値Aに対するBのデシベル値は
10×log_10 (B/A) [dB]
ということ。
本来は二つの電力の比を表す次元のない量だが、
工学では慣習的に絶対基準を定めていることもある。

トポロジー１

トポロジー：
まったく知識無し。
駆け足で教養レベルのお勉強を。
ド・ラームうんぬんの話題までやっておきたい。

種数(genus)：トーラスの穴の数。
曲線の積：
ここでは曲線とは、Ｉ=[0,1]から位相空間Xへの連続写像のこと。
曲線α、βの積は、
α・β(t) = α(2t), (0≦t≦1/2)
          = β(2t-1), (1/2≦t≦1)
で定義される、「繋ぎ合わせ」

2次元の図形の分類が当面の課題。それから一般化。
考察の対象となる2次元図形は、
S^2(2次元球面), T^2(=S^1×S^1), メビウスの輪、クラインの壷, P^2(射影平面), D^2(2次元円盤)。

これら6種類の図形は
1.図形上で定義される閉曲線で、図形を分断しないものの最大数と、閉曲線に沿って2周することで
図形を分断する閉曲線の数（ねじれた閉曲線の数）
2.図形そのものが、埋め込まれている空間を分断するか
という二つの観点から分類（区別）できる。

閉曲線が図形を分断するか、
図形そのものの存在によって、その図形が埋め込まれている空間が分断されるか
は、閉曲線や閉曲面が境界を持たないことに注目して一般化できる。
高次元の場合にも、境界を持たない図形を「輪体」と呼ぶ。

境界に関連して、単体の概念が重要。
r次元直交座標系において、原点と、r個の単位ベクトル示す点、合わせてr+1個の
点で張られる閉領域を、r単体と呼ぶ。
r単体は、原点をe_0、その他の単位ベクトルをe_iとすれば、
[e_0 e_1 e_2 ・・・ e_r]
と表せる。
r単体の境界は、r単体を定義するr+1個の点から1つを除いたものである
r-1単体の集合として定義される。

r単体から、構成要素である点を一つずつ除いて作った
r-1単体を(-1をサイクリックにかけながら)加えたものを作り出す作用素を、
境界作用素という。
→境界のないr次元図形、つまりr輪体は、境界作用素のカーネルの中にあることが分かる。

・ホモトピー
定義：
X,Yを位相空間、Iを閉区間[0,1]とする。
連続写像f,g:X→Yに対して、任意のx∈Xについて
F(x,0)=f(x),
F(x,1)=g(x)
を満たす連続写像F:X×I→Yを、fとgを結ぶホモトピーと呼ぶ。
fとgを結ぶホモトピーが存在するとき、写像fとgはホモトピックであるという。

つまり、定義域と値域を共有する二つの連続写像を
連続に繋ぐ写像のことをホモトピーという（写像から写像への写像ではなく、
もとの写像f,gの定義域、値域を用いて定義してあることに注意）

ホモトピックであるという関係は、XからYへの連続写像の集合上の同値関係。
この同値関係による同値類を、ホモトピー類という。
位相空間X上の曲線は、I→Xなる写像のことなので、当然、曲線の分類も
ホモトピーの概念で行える。
さらに、位相空間の分類もホモトピーの範疇である。

定義：
f:X→Yとg:Y→Xがあり、
f・gがY上の恒等写像とホモトピックかつg・fがX上の恒等写像とホモトピックなとき、
fをホモトピー同値写像、gをホモトピー逆写像とよぶ。
X,Yの間にホモトピー同値写像が存在する時、XとYはホモトピー同値という。
これは位相空間の集合上の同値関係になっている。

ホモトピー同値は、あまり解像度の高い分類方法ではない。
実際、RやR^n, D^nなどは、ただ1つの点の集合{p}とホモトピー同値である。
（1点とホモトピー同値な空間を可縮であるという）。

→
XとYが位相同型ならば、XとYはホモトピー同値である。

定義：
互いにホモトピー同値な空間の間に不変な性質を、
ホモトピー不変量と呼ぶ。

微分幾何復習１

古典的な微分幾何ちょっと復習。
・ポアンカレの補題：
単連結領域で定義されたn次微分形式ωが、dω=0となるための必要十分条件は、
n-1次形式ηでω=dηを満たすものが存在すること。

これは、電磁気学でやった、スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルの存在に対応している。

・Gauss-Bonneの定理：
以前曲線・曲面の微分形式を勉強した時には、一番大事な（？）Gauss-Bonneの定理まで
やらないで終わってしまった。ので、おさえておく。

オイラーの標数χ(D)=(Dの面の数)-(辺の数)+(頂点の数)で定義する。
p個の穴が開いている図形では、
χ(D)=2(1-p)。
Kをガウス曲率、dσを面積要素とする。
このとき、
向きづけ可能な閉曲面Dで、以上の２つが計算できる曲面であれば、
∫Ｋdσ＝２πχ(D)（πは円周率）
が成り立つ。

微分幾何と位相幾何を結ぶ定理。