微分幾何復習１

古典的な微分幾何ちょっと復習。
・ポアンカレの補題：
単連結領域で定義されたn次微分形式ωが、dω=0となるための必要十分条件は、
n-1次形式ηでω=dηを満たすものが存在すること。

これは、電磁気学でやった、スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルの存在に対応している。

・Gauss-Bonneの定理：
以前曲線・曲面の微分形式を勉強した時には、一番大事な（？）Gauss-Bonneの定理まで
やらないで終わってしまった。ので、おさえておく。

オイラーの標数χ(D)=(Dの面の数)-(辺の数)+(頂点の数)で定義する。
p個の穴が開いている図形では、
χ(D)=2(1-p)。
Kをガウス曲率、dσを面積要素とする。
このとき、
向きづけ可能な閉曲面Dで、以上の２つが計算できる曲面であれば、
∫Ｋdσ＝２πχ(D)（πは円周率）
が成り立つ。

微分幾何と位相幾何を結ぶ定理。