トポロジー：
まったく知識無し。
駆け足で教養レベルのお勉強を。
ド・ラームうんぬんの話題までやっておきたい。
種数(genus)：トーラスの穴の数。
曲線の積：
ここでは曲線とは、Ｉ=[0,1]から位相空間Xへの連続写像のこと。
曲線α、βの積は、
α・β(t) = α(2t), (0≦t≦1/2)
= β(2t-1), (1/2≦t≦1)
で定義される、「繋ぎ合わせ」
2次元の図形の分類が当面の課題。それから一般化。
考察の対象となる2次元図形は、
S^2(2次元球面), T^2(=S^1×S^1), メビウスの輪、クラインの壷, P^2(射影平面), D^2(2次元円盤)。
これら6種類の図形は
1.図形上で定義される閉曲線で、図形を分断しないものの最大数と、閉曲線に沿って2周することで
図形を分断する閉曲線の数（ねじれた閉曲線の数）
2.図形そのものが、埋め込まれている空間を分断するか
という二つの観点から分類（区別）できる。
閉曲線が図形を分断するか、
図形そのものの存在によって、その図形が埋め込まれている空間が分断されるか
は、閉曲線や閉曲面が境界を持たないことに注目して一般化できる。
高次元の場合にも、境界を持たない図形を「輪体」と呼ぶ。
境界に関連して、単体の概念が重要。
r次元直交座標系において、原点と、r個の単位ベクトル示す点、合わせてr+1個の
点で張られる閉領域を、r単体と呼ぶ。
r単体は、原点をe_0、その他の単位ベクトルをe_iとすれば、
[e_0 e_1 e_2 ・・・ e_r]
と表せる。
r単体の境界は、r単体を定義するr+1個の点から1つを除いたものである
r-1単体の集合として定義される。
r単体から、構成要素である点を一つずつ除いて作った
r-1単体を(-1をサイクリックにかけながら)加えたものを作り出す作用素を、
境界作用素という。
→境界のないr次元図形、つまりr輪体は、境界作用素のカーネルの中にあることが分かる。
・ホモトピー
定義：
X,Yを位相空間、Iを閉区間[0,1]とする。
連続写像f,g:X→Yに対して、任意のx∈Xについて
F(x,0)=f(x),
F(x,1)=g(x)
を満たす連続写像F:X×I→Yを、fとgを結ぶホモトピーと呼ぶ。
fとgを結ぶホモトピーが存在するとき、写像fとgはホモトピックであるという。
つまり、定義域と値域を共有する二つの連続写像を
連続に繋ぐ写像のことをホモトピーという（写像から写像への写像ではなく、
もとの写像f,gの定義域、値域を用いて定義してあることに注意）
ホモトピックであるという関係は、XからYへの連続写像の集合上の同値関係。
この同値関係による同値類を、ホモトピー類という。
位相空間X上の曲線は、I→Xなる写像のことなので、当然、曲線の分類も
ホモトピーの概念で行える。
さらに、位相空間の分類もホモトピーの範疇である。
定義：
f:X→Yとg:Y→Xがあり、
f・gがY上の恒等写像とホモトピックかつg・fがX上の恒等写像とホモトピックなとき、
fをホモトピー同値写像、gをホモトピー逆写像とよぶ。
X,Yの間にホモトピー同値写像が存在する時、XとYはホモトピー同値という。
これは位相空間の集合上の同値関係になっている。
ホモトピー同値は、あまり解像度の高い分類方法ではない。
実際、RやR^n, D^nなどは、ただ1つの点の集合{p}とホモトピー同値である。
（1点とホモトピー同値な空間を可縮であるという）。
→
XとYが位相同型ならば、XとYはホモトピー同値である。
定義：
互いにホモトピー同値な空間の間に不変な性質を、
ホモトピー不変量と呼ぶ。
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