プレゼント

同僚からお祝いにワインをもらう。
Napa ValleyのCAYMUS Special Selection.
結構いいワインみたいだね。ありがとう。

関数解析

バナッハ空間続論：
・ハーン・バナッハの定理：
あるベクトル空間Eの部分空間F上で定義された線型汎関数を、
E上の線型汎関数に拡張できることを保証する定理。

そういえば、汎関数って変分法のところで出てきたけど、
双対空間の元に対する関数とかも自然に扱う必要があるから、
関数（双対空間の元）への関数として汎関数を考える必要があるということかな。

定義：第二双対空間
双対空間の双対空間。
Eをノルム空間とする。Eの双対空間E'はノルム空間（本当は、
体Kが完備だから、任意のノルム空間の双対空間はバナッハ空間になることまで言える）。
そこで、E'の双対空間が考えられて、これをE''とする。
この第二双対空間E''は、もとのノルム空間Eを部分集合として含む。

特に、E=E''のようなノルム空間Eを、回帰的であるという。

数列空間、関数空間、一般のヒルベルト空間は回帰的である
←力学系を多様体の上で考えるときに、すごく役に立つ性質（と、理解している）。

開写像定理と閉グラフ定理は、バナッハ空間における写像の連続性を
議論するときに有用。
開写像定理：
E,Fをバナッハ空間とすると、EからFへの上への任意の
連続線型作用素Tは開写像である（開部分集合を開部分集合へうつす）。

定義：グラフ
集合Xから集合Yえの写像fのグラフgraph(f)を
graph(f)={(x,f(x)) | x ∈X}
で定義する。

定義：閉作用素
ノルム空間Eのある部分空間Dom(T)からノルム空間Fへの線型作用素Tのグラフ
graph(T)={(x,Tx) | x ∈ Dom(T)}
がE×F|_1 の閉集合のとき、Tを閉作用素と呼ぶ。E×F|_1は、EとFの直積に、
1ノルムを入れた空間。

ノルム空間からの連続線型作用素Tのグラフが閉集合、
つまりTが閉作用素であることは簡単に確かめられる。
その逆も、閉グラフ定理により保証される（これは作用素の連続性の証明に使える）

閉グラフ定理：
E,Fをバナッハ空間とすると、EからFへの閉作用素Tが
Dom(T)=Eを満たすなら、Tは連続である。

・・・閉作用素と、開写像って相反する性質じゃないんだよな・・・？
整理がつかない。

間宮兄弟

12/09、TUTAYAで借りてきて観ました。
男兄弟二人暮らしだと、あんなに余裕のある生活できるのかな？
３０過半ばならできるのか。いいな。
最後の電話、だれからなんだろ。やっぱりビデオ屋の子から？

群論復習

関数解析、今日の話題
・（ノルム空間における）ハーン・バナッハの定理
空間Eの部分空間F上で定義された有界な線型汎関数は、
ノルムをかえることなく全空間E上に拡張可能である。

・群論復習
ラグランジュの定理：
「有限群Gの部分群の位数は、Gの位数の約数である。」
HをGの部分群として、HによるGの同値類をG/Hとすると、
|G|=|H|・|G/H|
であるといっている。ただし、部分群Hがあったとして、その位数はGの位数の約数であると
述べているのであり、部分群の存在を保証するものではない。
ただし、群Gが可換ならば存在の保証もいえる。

定理：
「有限アーベル群Gは、|G|の任意の約数を位数とするような部分群を持つ。」

シローの定理：
「Gを有限群、pを素数とする。
|G|がp^nで割り切れる時、Gは位数p^k, k=1,2,・・・,nの部分群を持つ」

準同型：
φが準同型写像→K=Kerφは正規部分群である。
そこで、剰余群G/Kを考える。
G/KからImφへの写像φ~ ：G/K -> Imφを
φ~(g K)=φ(g)で定義すると、このφ~は同型写像になる。

準同型定理：
「φ：G->G'が準同型写像のとき、G/KerφとImφは同型である」
つまり、KerφでGを割り、冗長性をなくしてやれば、
G/Kerφはφの像と一対一対応が付く。

同型定理：
「群Gの正規部分群Nと部分群Hについて、
H/H∩NとHN/Nは同型である。

表現定理：
「全ての有限群に対して、同型な置換群が存在する」

群の作用において、軌道の考え方が応用上も非常に重要。
あるx∈Xに任意のg∈Gを作用させた時のg(x)の集合を
O(x)={g(x)|g∈G}
とかき、xの軌道という。
あるxを動かさないようなGの部分集合を
St(x)={g∈G|g(x)=x}
とかき、xの固定部分群という。

軌道O(x)を用いて、有限群Gは互いに素な軌道の輪に分解される。
固定部分群St(x)による群Gの剰余群の位数は、軌道O(x)の位数と一致する。
つまり、
|G|=|O(x)|・|St(x)|
が成立。

St(x)は、x∈Xを動かさないようなGの元の集合であった。
これとは別に、
N(g) = {x∈X|g(x)=x}
なるXの部分集合を考える。つまり、今度はg∈Gを固定した時に、そのgで
動かされないx∈Xの集合を考える。
別な定義の仕方をしたが、その位数は等しい。
（g(x)=xを満たすgとxの組み合わせをカウントすることになるから）。
→
バーンサイドの定理：
「有限群Gが有限集合Xに作用しているとする。このとき、軌道の個数rは、
r ・ |G| = Σ|N(g)|
なる関係を満たす。ただし、Σはg∈Gに渡る」

最後に、比較的単純な有限アーベル群に関して、もう少し考察。

定義：直積分解
群Gの部分群H,Kが、ともに正規部分群であり、
G=HK={hk|h∈H、k∈K}、H∩K={e}であるとき、
G=H×K
と書き、Gの直積分解と呼ぶ。

Gの任意の元は、Hの元とKの元の積の形で、一意にあらわされることになる。
（HとKの共通部分が単位元eしかないというところがポイント）
さらに、HとKは可換であり、G=H×K=K×Hである。
H,Kの二つの部分空間による直積分解は、n個の正規部分空間による直積分解に拡張可能。

定理：
「有限アーベル群Gの位数が、互いに素な自然数p,qを用いてpqと表される時、
H={h∈G|h^p=e},  K={k∈G|k^q=e}
と置けばG=H×Kと直積分解できる。H,Kの位数はそれぞれp,q。」

と、とりあえず教科書をすらすら読めるのはこのくらいのレベルまでかな・・・

ブラザーズ・グリム

大好きなテリー・ギリアム監督作品。
始めのうちはこの監督だってことを忘れてみていたけど、
何かのきっかけで気づいた。