関数解析、今日の話題
・（ノルム空間における）ハーン・バナッハの定理
空間Eの部分空間F上で定義された有界な線型汎関数は、
ノルムをかえることなく全空間E上に拡張可能である。
・群論復習
ラグランジュの定理：
「有限群Gの部分群の位数は、Gの位数の約数である。」
HをGの部分群として、HによるGの同値類をG/Hとすると、
|G|=|H|・|G/H|
であるといっている。ただし、部分群Hがあったとして、その位数はGの位数の約数であると
述べているのであり、部分群の存在を保証するものではない。
ただし、群Gが可換ならば存在の保証もいえる。
定理：
「有限アーベル群Gは、|G|の任意の約数を位数とするような部分群を持つ。」
シローの定理：
「Gを有限群、pを素数とする。
|G|がp^nで割り切れる時、Gは位数p^k, k=1,2,・・・,nの部分群を持つ」
準同型：
φが準同型写像→K=Kerφは正規部分群である。
そこで、剰余群G/Kを考える。
G/KからImφへの写像φ~ ：G/K -> Imφを
φ~(g K)=φ(g)で定義すると、このφ~は同型写像になる。
準同型定理：
「φ：G->G'が準同型写像のとき、G/KerφとImφは同型である」
つまり、KerφでGを割り、冗長性をなくしてやれば、
G/Kerφはφの像と一対一対応が付く。
同型定理：
「群Gの正規部分群Nと部分群Hについて、
H/H∩NとHN/Nは同型である。
表現定理：
「全ての有限群に対して、同型な置換群が存在する」
群の作用において、軌道の考え方が応用上も非常に重要。
あるx∈Xに任意のg∈Gを作用させた時のg(x)の集合を
O(x)={g(x)|g∈G}
とかき、xの軌道という。
あるxを動かさないようなGの部分集合を
St(x)={g∈G|g(x)=x}
とかき、xの固定部分群という。
軌道O(x)を用いて、有限群Gは互いに素な軌道の輪に分解される。
固定部分群St(x)による群Gの剰余群の位数は、軌道O(x)の位数と一致する。
つまり、
|G|=|O(x)|・|St(x)|
が成立。
St(x)は、x∈Xを動かさないようなGの元の集合であった。
これとは別に、
N(g) = {x∈X|g(x)=x}
なるXの部分集合を考える。つまり、今度はg∈Gを固定した時に、そのgで
動かされないx∈Xの集合を考える。
別な定義の仕方をしたが、その位数は等しい。
（g(x)=xを満たすgとxの組み合わせをカウントすることになるから）。
→
バーンサイドの定理：
「有限群Gが有限集合Xに作用しているとする。このとき、軌道の個数rは、
r ・ |G| = Σ|N(g)|
なる関係を満たす。ただし、Σはg∈Gに渡る」
最後に、比較的単純な有限アーベル群に関して、もう少し考察。
定義：直積分解
群Gの部分群H,Kが、ともに正規部分群であり、
G=HK={hk|h∈H、k∈K}、H∩K={e}であるとき、
G=H×K
と書き、Gの直積分解と呼ぶ。
Gの任意の元は、Hの元とKの元の積の形で、一意にあらわされることになる。
（HとKの共通部分が単位元eしかないというところがポイント）
さらに、HとKは可換であり、G=H×K=K×Hである。
H,Kの二つの部分空間による直積分解は、n個の正規部分空間による直積分解に拡張可能。
定理：
「有限アーベル群Gの位数が、互いに素な自然数p,qを用いてpqと表される時、
H={h∈G|h^p=e}, K={k∈G|k^q=e}
と置けばG=H×Kと直積分解できる。H,Kの位数はそれぞれp,q。」
と、とりあえず教科書をすらすら読めるのはこのくらいのレベルまでかな・・・
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