ベクトル場の存在

多様体Sの任意の接ベクトルD∈Tp(S)が与えられた時に、
pを通る曲線γに沿った平行ベクトル場XでX(a)=Dを満たすものが
一意に存在する。

今までは「多様体が滑らかだから、接ベクトルがあったら接線がそれに
一致するような曲線が描ける」という程度の理解だった。
もうちょっとちゃんとした理解を。

多様体Sには、アファイン接続も定義されているとする。
S上の曲線γ:[a,b]→S上の任意の点γ(t)において接ベクトル
X(t)∈T_γ(t)(S)を指定する対応を、γに沿ったベクトル場という。
このベクトル場Xが接続の定める線型写像で次のように結ばれている時、
Xはγ上で平行であるという：
X(t+dt) = Π_γ(t),γ(t+dt) (X(t))

この平行を定義する式を、適当な座標系（と、それに伴うT(S)の基底）で
表すと、接ベクトルX(t)のその基底に関する成分が従う
1階の常微分方程式系が得られる。
これは任意の初期条件のもとで一意に解けるので、
任意の接ベクトルに対してその点を通る曲線γに平行なベクトル場が一意に存
在することが分かる。