トポロジー１

トポロジー：
まったく知識無し。
駆け足で教養レベルのお勉強を。
ド・ラームうんぬんの話題までやっておきたい。

種数(genus)：トーラスの穴の数。
曲線の積：
ここでは曲線とは、Ｉ=[0,1]から位相空間Xへの連続写像のこと。
曲線α、βの積は、
α・β(t) = α(2t), (0≦t≦1/2)
          = β(2t-1), (1/2≦t≦1)
で定義される、「繋ぎ合わせ」

2次元の図形の分類が当面の課題。それから一般化。
考察の対象となる2次元図形は、
S^2(2次元球面), T^2(=S^1×S^1), メビウスの輪、クラインの壷, P^2(射影平面), D^2(2次元円盤)。

これら6種類の図形は
1.図形上で定義される閉曲線で、図形を分断しないものの最大数と、閉曲線に沿って2周することで
図形を分断する閉曲線の数（ねじれた閉曲線の数）
2.図形そのものが、埋め込まれている空間を分断するか
という二つの観点から分類（区別）できる。

閉曲線が図形を分断するか、
図形そのものの存在によって、その図形が埋め込まれている空間が分断されるか
は、閉曲線や閉曲面が境界を持たないことに注目して一般化できる。
高次元の場合にも、境界を持たない図形を「輪体」と呼ぶ。

境界に関連して、単体の概念が重要。
r次元直交座標系において、原点と、r個の単位ベクトル示す点、合わせてr+1個の
点で張られる閉領域を、r単体と呼ぶ。
r単体は、原点をe_0、その他の単位ベクトルをe_iとすれば、
[e_0 e_1 e_2 ・・・ e_r]
と表せる。
r単体の境界は、r単体を定義するr+1個の点から1つを除いたものである
r-1単体の集合として定義される。

r単体から、構成要素である点を一つずつ除いて作った
r-1単体を(-1をサイクリックにかけながら)加えたものを作り出す作用素を、
境界作用素という。
→境界のないr次元図形、つまりr輪体は、境界作用素のカーネルの中にあることが分かる。

・ホモトピー
定義：
X,Yを位相空間、Iを閉区間[0,1]とする。
連続写像f,g:X→Yに対して、任意のx∈Xについて
F(x,0)=f(x),
F(x,1)=g(x)
を満たす連続写像F:X×I→Yを、fとgを結ぶホモトピーと呼ぶ。
fとgを結ぶホモトピーが存在するとき、写像fとgはホモトピックであるという。

つまり、定義域と値域を共有する二つの連続写像を
連続に繋ぐ写像のことをホモトピーという（写像から写像への写像ではなく、
もとの写像f,gの定義域、値域を用いて定義してあることに注意）

ホモトピックであるという関係は、XからYへの連続写像の集合上の同値関係。
この同値関係による同値類を、ホモトピー類という。
位相空間X上の曲線は、I→Xなる写像のことなので、当然、曲線の分類も
ホモトピーの概念で行える。
さらに、位相空間の分類もホモトピーの範疇である。

定義：
f:X→Yとg:Y→Xがあり、
f・gがY上の恒等写像とホモトピックかつg・fがX上の恒等写像とホモトピックなとき、
fをホモトピー同値写像、gをホモトピー逆写像とよぶ。
X,Yの間にホモトピー同値写像が存在する時、XとYはホモトピー同値という。
これは位相空間の集合上の同値関係になっている。

ホモトピー同値は、あまり解像度の高い分類方法ではない。
実際、RやR^n, D^nなどは、ただ1つの点の集合{p}とホモトピー同値である。
（1点とホモトピー同値な空間を可縮であるという）。

→
XとYが位相同型ならば、XとYはホモトピー同値である。

定義：
互いにホモトピー同値な空間の間に不変な性質を、
ホモトピー不変量と呼ぶ。

微分幾何復習１

古典的な微分幾何ちょっと復習。
・ポアンカレの補題：
単連結領域で定義されたn次微分形式ωが、dω=0となるための必要十分条件は、
n-1次形式ηでω=dηを満たすものが存在すること。

これは、電磁気学でやった、スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルの存在に対応している。

・Gauss-Bonneの定理：
以前曲線・曲面の微分形式を勉強した時には、一番大事な（？）Gauss-Bonneの定理まで
やらないで終わってしまった。ので、おさえておく。

オイラーの標数χ(D)=(Dの面の数)-(辺の数)+(頂点の数)で定義する。
p個の穴が開いている図形では、
χ(D)=2(1-p)。
Kをガウス曲率、dσを面積要素とする。
このとき、
向きづけ可能な閉曲面Dで、以上の２つが計算できる曲面であれば、
∫Ｋdσ＝２πχ(D)（πは円周率）
が成り立つ。

微分幾何と位相幾何を結ぶ定理。

関数解析

バナッハ空間続論：
・ハーン・バナッハの定理：
あるベクトル空間Eの部分空間F上で定義された線型汎関数を、
E上の線型汎関数に拡張できることを保証する定理。

そういえば、汎関数って変分法のところで出てきたけど、
双対空間の元に対する関数とかも自然に扱う必要があるから、
関数（双対空間の元）への関数として汎関数を考える必要があるということかな。

定義：第二双対空間
双対空間の双対空間。
Eをノルム空間とする。Eの双対空間E'はノルム空間（本当は、
体Kが完備だから、任意のノルム空間の双対空間はバナッハ空間になることまで言える）。
そこで、E'の双対空間が考えられて、これをE''とする。
この第二双対空間E''は、もとのノルム空間Eを部分集合として含む。

特に、E=E''のようなノルム空間Eを、回帰的であるという。

数列空間、関数空間、一般のヒルベルト空間は回帰的である
←力学系を多様体の上で考えるときに、すごく役に立つ性質（と、理解している）。

開写像定理と閉グラフ定理は、バナッハ空間における写像の連続性を
議論するときに有用。
開写像定理：
E,Fをバナッハ空間とすると、EからFへの上への任意の
連続線型作用素Tは開写像である（開部分集合を開部分集合へうつす）。

定義：グラフ
集合Xから集合Yえの写像fのグラフgraph(f)を
graph(f)={(x,f(x)) | x ∈X}
で定義する。

定義：閉作用素
ノルム空間Eのある部分空間Dom(T)からノルム空間Fへの線型作用素Tのグラフ
graph(T)={(x,Tx) | x ∈ Dom(T)}
がE×F|_1 の閉集合のとき、Tを閉作用素と呼ぶ。E×F|_1は、EとFの直積に、
1ノルムを入れた空間。

ノルム空間からの連続線型作用素Tのグラフが閉集合、
つまりTが閉作用素であることは簡単に確かめられる。
その逆も、閉グラフ定理により保証される（これは作用素の連続性の証明に使える）

閉グラフ定理：
E,Fをバナッハ空間とすると、EからFへの閉作用素Tが
Dom(T)=Eを満たすなら、Tは連続である。

・・・閉作用素と、開写像って相反する性質じゃないんだよな・・・？
整理がつかない。

群論復習

関数解析、今日の話題
・（ノルム空間における）ハーン・バナッハの定理
空間Eの部分空間F上で定義された有界な線型汎関数は、
ノルムをかえることなく全空間E上に拡張可能である。

・群論復習
ラグランジュの定理：
「有限群Gの部分群の位数は、Gの位数の約数である。」
HをGの部分群として、HによるGの同値類をG/Hとすると、
|G|=|H|・|G/H|
であるといっている。ただし、部分群Hがあったとして、その位数はGの位数の約数であると
述べているのであり、部分群の存在を保証するものではない。
ただし、群Gが可換ならば存在の保証もいえる。

定理：
「有限アーベル群Gは、|G|の任意の約数を位数とするような部分群を持つ。」

シローの定理：
「Gを有限群、pを素数とする。
|G|がp^nで割り切れる時、Gは位数p^k, k=1,2,・・・,nの部分群を持つ」

準同型：
φが準同型写像→K=Kerφは正規部分群である。
そこで、剰余群G/Kを考える。
G/KからImφへの写像φ~ ：G/K -> Imφを
φ~(g K)=φ(g)で定義すると、このφ~は同型写像になる。

準同型定理：
「φ：G->G'が準同型写像のとき、G/KerφとImφは同型である」
つまり、KerφでGを割り、冗長性をなくしてやれば、
G/Kerφはφの像と一対一対応が付く。

同型定理：
「群Gの正規部分群Nと部分群Hについて、
H/H∩NとHN/Nは同型である。

表現定理：
「全ての有限群に対して、同型な置換群が存在する」

群の作用において、軌道の考え方が応用上も非常に重要。
あるx∈Xに任意のg∈Gを作用させた時のg(x)の集合を
O(x)={g(x)|g∈G}
とかき、xの軌道という。
あるxを動かさないようなGの部分集合を
St(x)={g∈G|g(x)=x}
とかき、xの固定部分群という。

軌道O(x)を用いて、有限群Gは互いに素な軌道の輪に分解される。
固定部分群St(x)による群Gの剰余群の位数は、軌道O(x)の位数と一致する。
つまり、
|G|=|O(x)|・|St(x)|
が成立。

St(x)は、x∈Xを動かさないようなGの元の集合であった。
これとは別に、
N(g) = {x∈X|g(x)=x}
なるXの部分集合を考える。つまり、今度はg∈Gを固定した時に、そのgで
動かされないx∈Xの集合を考える。
別な定義の仕方をしたが、その位数は等しい。
（g(x)=xを満たすgとxの組み合わせをカウントすることになるから）。
→
バーンサイドの定理：
「有限群Gが有限集合Xに作用しているとする。このとき、軌道の個数rは、
r ・ |G| = Σ|N(g)|
なる関係を満たす。ただし、Σはg∈Gに渡る」

最後に、比較的単純な有限アーベル群に関して、もう少し考察。

定義：直積分解
群Gの部分群H,Kが、ともに正規部分群であり、
G=HK={hk|h∈H、k∈K}、H∩K={e}であるとき、
G=H×K
と書き、Gの直積分解と呼ぶ。

Gの任意の元は、Hの元とKの元の積の形で、一意にあらわされることになる。
（HとKの共通部分が単位元eしかないというところがポイント）
さらに、HとKは可換であり、G=H×K=K×Hである。
H,Kの二つの部分空間による直積分解は、n個の正規部分空間による直積分解に拡張可能。

定理：
「有限アーベル群Gの位数が、互いに素な自然数p,qを用いてpqと表される時、
H={h∈G|h^p=e},  K={k∈G|k^q=e}
と置けばG=H×Kと直積分解できる。H,Kの位数はそれぞれp,q。」

と、とりあえず教科書をすらすら読めるのはこのくらいのレベルまでかな・・・

リプシッツ連続

研修やらパテントやらでそうとう忙しくなってきたけど、
関数解析の基礎だけは少しずつでもやっておこう。

力学系の講義でよく出てきたリプシッツ連続。
普通、at aで微分可能であるとは、(f(t)-f(a))/(t-a)の極限が有限確定であると定義する。
そこで、有限確定なのだから、あるL>0で
f(t)-f(a) < L|t-a|
のように抑えられるでしょう、ということ。
Lを固定したりして、連続のクラスわけができたりする。